3.　計 算 力 学

3・1　はじめに

コンピュータの急速な性能向上により，機械工学における計算力学の重要性は益々高まっている．「固体力学」，「流体工学」，「熱工学」，「材料科学」から応用分野に至る広い範囲で定着しつつある．さまざまな空間スケールと時間スケールに計算力学が適用できるのも特徴の一つであり，今や学術研究のみならず産業界でも不可欠なツールとなっている．産業界には計算力学により解決しなければならない学術的な研究課題が非常に多いと感じる．最近は「深層学習」や「人工知能」という言葉が頻繁に使われるようになった．因果から物事を理解してゆく従来の方法に対し，データから重要な性質を導き出す方法に注目が集まっている．計算力学はそのような新しい流れも取り込み，既に大きな分野となっている最適化の手法と組み合わせ，さらなる発展が期待される．

〔青木　尊之　東京工業大学〕

3・2　計算固体力学

2017年9月に第30回計算力学講演会が近畿大学東大阪キャンパスにて開催された．25件のオーガナイズドセッション（以下OSと略す）が企画され，そのうち次の22件が計算固体力学のOSまたは計算固体力学に関連するOSであった[1]．具体的には，OS01：ゴムの計算力学と関連話題，OS02：電子デバイス・電子材料と計算力学，OS04：形状・トポロジー最適化，OS05：メッシュフリー／粒子法とその関連技術，OS06：ペリダイナミクス・シミュレーション，OS07：材料の組織・強度に関するマルチスケールアナリシス，OS08：電子・原子・マルチシミュレーションに基づく材料特性評価，OS09：フェーズフィールド法の深化と拡大，OS10：社会・環境・防災シミュレーション，OS11：固体と構造体の非線形・衝撃・不安定解析フロンティア，OS12：逆問題とデータ同化の最新展開，OS13：複合連成現象の解析と力学，OS14：CAE／CAD／CAM／CG／CAT／CSCW，OS16：機能材料と構造の力学，OS17：企業におけるCAEおよび産学官連携の事例，OS18：大規模並列・連成解析と関連話題，OS19：破壊力学とき裂の解析・き裂進展シミュレーション，OS20：市販ソフトウェアによる難問題のモデリング・シミュレーション，OS21：深層学習と機械学習，OS22：境界要素法の高度化と最新応用，OS23：周期構造とシミュレーション技術，OS25：半導体産業を牽引する数値シミュレーション-結晶製造からデバイスの最先端技術まで-である．以上のOS名をみることで，近年の計算固体力学分野の研究動向を知ることができる．

第30回計算力学講演会では，破壊力学とき裂の解析・き裂進展シミュレーションにおいて数多くの講演があった．き裂の形状をメッシュで陽にモデル化したき裂進展シミュレーションは，四面体要素を用いた有限要素法や重合メッシュ法（S-version Finite Element Method: SFEM），拡張有限要素法（eXtended Finite Element Method: XFEM）を用いたアプローチがこれまでに盛んに行われ，比較的単純な単一のき裂の進展解析の実現は現実味を帯びてきた．近年では，複数のき裂の相互作用問題や非平面的なき裂の進展を含む問題，複合材料中のき裂問題，き裂の分岐，合体を含むような複雑な問題への適用が試みられている．一方，損傷パラメータを用いた損傷力学モデルの開発や応用研究も盛んに行われている．さらに，機械学習をき裂進展解析に応用するなど，き裂進展クライテリオンに対する新しいプローチも試みられている．また，フェーズフィールド法やペリダイナミクスを用いたき裂進展の数値解析に関する研究が進んでいる．

これまでは，き裂の進展解析そのものの実現において高い障壁があり，き裂進展解析を実現することに注力されてきた．このようなき裂進展解析の開発段階においては，単純なき裂進展則や損傷発展則を用いることによって，単純にき裂進展解析の実現を目指してきたが．今後はより一層精密なき裂進展解析の実現に向けて，例えばき裂の開閉口挙動を考慮したき裂進展則やき裂進展方向クライリオン，損傷発展則の構築と実装が求められるであろう．さらに，大規模な塑性変形を含む低サイクル疲労の数値解析では，（複合）硬化則モデルのパラメータ同定が数値解析の実現に向けた根幹をなしており，硬化則モデルやその同定方法は現在のところ確固たる方法が定まっていない．今後は，硬化則モデルの更なる発展とともに，硬化則モデルに含まれるパラメータ同定方法の確立が期待される．

2017年7月には，14^th U.S. National Congress on Computational Mechanics（USNCCM14）がカナダのモントリオールで開催された[2]．この会議は，United States Association for Computational Mechanics（USACM）が主催するアメリカの国内会議であるが，国際的な注目度は高く，会議の規模や参加者を考慮すると，事実上の国際会議であり，計算力学を代表する会議と言える．会議では，1 000人を超える参加者があり，81のミニシンポジウムが企画された．計算固体力学に関連するミニシンポジウムの中では特にHydraulic Fracture SimulationとAdvances in Atomistic-to-Continuum Coupling Techniquesのミニシンポジウムに多くの講演があった．Hydraulic Fracture Simulationでは，XFEMやGFEMの開発および応用研究が注目され，Advances in Atomistic-to-Continuum Coupling Techniquesでは，加速分子動力学法，準連続体モデルの拡張の研究などの講演があった．

〔高橋　昭如　東京理科大学〕

3・3　計算熱流体力学

熱流体力学の支配方程式であるナビエストークス方程式の数値解法の開発研究は，計算熱流体力学（CFD）分野において最も歴史の長い中核的な研究フィールドであり，近年もそれ関する研究が活発に行われている．従来の有限体積法及び有限差分法に比べ，大規模並列計算や非構造格子への適性に優れているなどの利点から，局所高精度補間に基づく解法が注目されている．その代表的な手法として，不連続ガレルキン（Galerkin）法やスペクトル・エレメント（Spectral element）法などがあげられる[1]．さらに，Huynhにより上記の手法を含む高精度数値解法の一般的な定式化である流束再構築（Flux reconstruction）法[2]が提示され，圧縮性流体の高精度ソルバーの開発へ展開している[3, 4]．これらの手法は連続解の計算に高精度な解が得られる一方，不連続解あるいは大きい勾配を含む解に伴う数値振動の解決法はいまだに確立されていない．それを対処するために，連続解に適した多項式系補間関数と不連続解に適した非多項式系補間関数を併用したハイブリッド補間関数による空間再構築法も提案され，新しい方向性を示している[5, 6]．

自由界面を含む多相流の計算手法及び数値モデルの開発研究は，過去20年間精力的に行われてきた．より高性能な界面捕獲（追跡）法は続々と提案され，それらに基づく実用性の高い非圧縮性多相流数値モデルの基盤ソルバーが確立しつつ[7]，界面の物理過程に対する数値モデルの研究も進み，より複雑な事象を取り扱えるようになっている[8, 9]．一方，圧縮性自由界面多相流の数値解析モデルはその複雑性からまだ多くの問題が残されている．界面におけるリーマン解（厳密ないし近似的な解）に基づく解法，いわゆるシャープ境界解法は，計算の複雑さまたは手法によって生じる保存性などの問題があり，実問題への応用が限られている．境界を含むメッシュセルにおいて各物理量の平均あるいは混合モデルに基づく定式化において，様々複雑な物質に対する混合モデルの開発に成功し，実用的な手法として期待されている[10]．多相乱流問題のモデリングについてLakehalらが，多相流の数値解法をLES（Large eddy simulation）のフレームワークへ拡張し，自由界面多相流の乱流計算モデルとしてLEISおよびLESSを提案している[11]．

支配方程式の数値解法の改良を中心に，決定論的な数値モデルの高度化に向けて研究を進めるとともに，近年CFDの実用化を念頭に，計算結果に含まれる不確かさの定量的評価が重視され，それに関する研究は盛んに行われている．決定論的モデルのシミュレーション結果には，初期/境界条件，物理モデル及び数学表現における近似や数値解法の精度などによる不確かさ（誤差）が含まれる．それぞれの不確かさが数値計算のプロセスにおいてどのように変化し，シミュレーション結果に影響を与えるかは，CFDの実用において非常に重要である．原理的に，決定論数値モデルを用いたモンテカルロ数値実験を行うことで不確かさの統計的性質を調べることができるが，統計的に収束するまで大量な繰り返し計算が必要である．より効率的な手法として，確率変数に対してスペクトル展開を施すStochastic Galerkin法[12]及びStochastic Collocation（SC）法[13]が提案されている．特に，SC法は元の決定論計算モデルを書き換える必要がなく，複雑な数値モデルにも適用しやすいため，広く使われている．

計算熱流体力学分野の新しいトレンドとして，データ駆動型（data-driven）手法を取り入れる研究があげられる．前述のように数値モデルや計算条件に不確かさがある故に計算結果は実現象とのずれが必ず生じる．そこで，計算結果を観測に近づかせるために，データ同化や機械学習といった観測データを活用する手法に関する研究が活発に行われている．データ同化は気象分野において長年使われており，観測データによって天気予報モデルの初期条件やパラメターを補正することは，数値天気予報の確率向上に非常に有力であると実証されている．それを用いてCFDモデルのパラメター最適化，さらに計測・シミュレーション融合システムの構築に関する研究も展開している[14]．また，深層ニューラルネットに基づく機械学習を用いた乱流モデルの同定における研究[15, 16]など，人口知能技術を生かす研究動向も言及しておきたい．

〔肖　鋒　東京工業大学〕

3・4　連成解析

ここで述べる連成解析とは，構造，伝熱，流体，磁場など複数の場の相互作用を考慮した問題の数値解析のことである．単一場のみを取り扱うのでは対象とする現象の振る舞いを十分な精度で表せない場合，連成解析が必要となる．連成解析が必要な対象として最も盛んに研究されているものに流体構造連成（Fluid-Structure Interaction, FSI）問題があり，例えば流体関連振動は美浜原発2号機の蒸気発生器細管破裂による一次冷却水漏れや高速増殖炉もんじゅのさや細管破損によるナトリウム漏れなど重大事故の要因となっており，設計上重要で無視できないものとなっている．また，FSI問題は宇宙船のパラシュート降下や脳動脈瘤内の動脈の動きと血液の流れなど様々な分野で見ることができる．FSI問題の事例は文献[1]など，数値解析の基礎と応用は文献[2]などで紹介されている．

連成解析では非線形かつ非定常な問題を解かなければいけないことが多く，高精度な数値解析を効率的に実施するためには計算科学と計算機科学の連携が不可欠と言える．これに対し，我が国では全国の大学・研究機関等のスーパーコンピュータを高速ネットワークで結合した共用計算環境基盤HPCIが整備されており，連成解析を含めた様々な課題解決に役立てられている．特にポスト「京」開発事業の下で，重点課題2「個別化・予防医療を支援する統合計算生命科学」における心臓[3]，重点課題4「観測ビッグデータを活用した気象と地球環境の予測の高度化」における気象・気候[4]，重点課題6「革新的クリーンエネルギーシステムの実用化」における燃焼器・ガス化炉や洋上風力発電[5]，重点課題8「近未来型ものづくりを先導する革新的設計・製造プロセスの開発」におけるターボ機械や熱可塑CFRP [6]など複雑な複数物理事象に関する研究が推進されており，連成解析分野の飛躍的進歩が期待される．

連成解析に関する学会発表に目を向けると，国際会議COUPLED PROBLEMS 2017 [7]においては3日間の日程で9件の基調講演と約400件の一般講演が行われている．最も多いのは数値解析手法に関する講演であったが，Isogeometric解析，トポロジー最適化，Model Order Reductionなど近年注目されている手法の報告も目立ってきている．また，対象としては機械系のFSIが最も多いが，バイオメカニクス，材料の経年・環境劣化，電磁場，地盤に特化したセッションなども企画されており，連成解析の数値解析技術を必要とする分野は今後も拡大していくと見られる．また，高性能計算に関する国際会議SC17 [8]において2017年のBest Paper Awardを受賞したのはスマトラ島沖地震における地震と津波の連成解析に関する研究[9]であり，スーパーコンピュータを用いた最先端の計算機シミュレーションとして世界的にも連成解析が注目されていることが分かる．国内の研究動向としては，日本機械学会第30回計算力学講演会[10]において，特に連成解析に着目した「複合連成現象の解析と力学」と「大規模並列・連成解析と関連話題」の2つのオーガナイズドセッションだけで産業界からを含めて28件の講演発表があり，活発な討論が行われた．また，第64回理論応用力学講演会[11]においても「連成現象・複合現象のシミュレーション」のオーガナイズドセッションにおいて12件の講演発表があり，数値解析手法に関するものから，き裂と水素漏洩，昆虫規範型MEMS翼，抵抗スポット溶接，FRP材，地盤など様々な話題が提供され，活発な情報交換が行われた．

次に，投稿論文として学術雑誌Computer Methods in Applied Mechanics and Engineeringで2017年に出版されたものから，連成解析に関係するものをいくつか紹介する．RyzhakovらのX-IVSによるLagrange型解法を用いた効率的なFSI解析手法[12]，Heltaiらの流体をIsogeometric解析，構造をシェル要素とするFSI解析手法[13]，Bauseらの多孔質弾性体と流体のFSI解析向けspace-time FEM [14]，Francisらの熱と連成したFSI向けParticle FEMと炉心溶融への応用[15]，Ryzhakov&Oñateの膜に覆われた内部流体と外部流体のFSI向け有限要素モデル[16]など特にFSIに着目したものが多いが，数値解析手法は様々である．また，QuarteroniらのFEMに基づくマルチスケール・マルチフィジックス心臓シミュレーション[17]，Kamenskyらの心臓血管のFSI向けIsogeometric解析[18]，Yangらの修正Immersed FEMに基づく圧縮性流体と構造の強連成FSIと声帯振動解析への応用[19]，Stoterらのフェーズ・フィールド法によるNavier-Stokes式とDarcy式の連成計算手法と医療画像から再構築した肝臓内の流れ解析[20]など医用生体工学分野の研究も多い．これらについても，数値解析手法はそれぞれであるという特徴がある．また，Xuらの非球状粒子を含む粒子強化材料向け離散要素法とFEMの連成計算[21]などもある．

このように，連成解析を行う必要がある複雑な現象に対しては現在も数値解析手法に関する研究開発が広く行われている．比較に用いるオープンな実験結果が少ないという問題点があるが，土木分野では連成解析シミュレーションの品質保証に向けたV&Vに関する研究[22]も進められており，機械工学分野においてもそのような取り組みが進んでいくことが期待される．

〔荻野　正雄　名古屋大学〕

3・5　防災シミュレーション

2011年に発生した東日本大震災を受け，日本機械学会をはじめ，土木学会や日本建築学会など，計8つの学会によってその合同調査報告書[1]がまとめられたことは記憶に新しい．計算力学関連では，吉村忍教授（東大）を主査とし，「力学体系に基づく津波被害メカニズムの理解」と題した章がまとめられた．その中で掲げられた提言では，「津波被害メカニズムに関連する現象のシミュレーション手法について，（中略）本会を挙げて，研究開発に取り組むべきである」，「（前略）地震動と津波の複合被害メカニズムについても，研究開発を加速すべきである」と述べられている．このように，今後も想定される複合災害に対するシミュレーション技術の発展はまさしく喫緊の課題であり，多くの研究者によって防災・減災を目指す数値解析的研究がさらに活発化してきている．

我が国における防災シミュレーションの最先端の研究動向は，第30回計算力学講演会[2]（CMD2017, 2017年9月，近畿大学）で企画された「社会・環境・防災シミュレーション」などのセッションを覗くと伺い知ることができる．また，本学会以外の講演会でも，例えば日本計算工学会の第22回計算工学講演会[3]（2017年5月，大宮ソニックシティ）では同名のセッションが多元災害シミュレーション研究会[4]と共同企画されている．2017年10月には，中国・成都で2nd International Conference on Computational Engineering and Science for Safety and Environmental Problems（COMPSAFE2017）[5]が開催された．これは，防災・減災に対し計算力学的アプローチを施した分野を大きな柱の一つとして掲げた国際会議で，International Association for Computational Mechanics（IACM）[6]のSpecial Interest Conferenceとして2014年に日本で立ち上げられたものである[7]．

前述の第30回計算力学講演会におけるセッションで発表された講演内容[8]を詳しく見ると，最近の研究動向としては，例えば避難シミュレーションへの応用が期待できる車両ロボット制御アルゴリズム，マルチエージェントシステムや1次元セルオートマトンなど，人や輸送機器の行動を関数化して解析・予測するシステムの発展が目立つ．また，家具，ドアやサーバーラックなど建物内の非構造部材の地震時挙動に関するシミュレーションも増加している．さらに，粒子法を用いた漂流物運動の解析など，津波対策に関わる研究も非常に多い．津波の数値解析的研究に関しては，土木学会や日本建築学会，日本計算工学会においても最先端の研究成果が発表されており，注目を浴びている．

1995年の阪神淡路大震災を契機に，防災科学技術研究所兵庫耐震工学研究センター[9]の実大三次元震動破壊実験施設（Eディフェンス）が建設された．実大震動台を用いた実験研究は多くの成果を挙げているが，実験にかかる高額の費用を鑑みると，計算力学が貢献できる部分は少なくない．実際，地震による構造物の損傷破壊過程，並びに室内被害を再現するシミュレーション技術（数値震動台，E-Simulator）の開発が進行しており，その2017年度成果報告会も開催された[10]．シミュレーションによる実験結果の再現性能，予測性能がより高度化してきており，地震災害に対する予防力，対応力の向上に資するものとして期待されている．災害の多い我が国だからこそ，防災シミュレーション技術がますます必要となることは必至であり，その高度化は，関連研究者に共通する大きな目標である．

〔磯部　大吾郎　筑波大学〕

3・6　粒子法またはメッシュフリー法

粒子法やメッシュフリー法は，格子法では扱うのが難しい問題，例えば破壊や亀裂進展などの不連続問題や液滴の分裂や合体などを含む自由表面流れ，粉体の様な粒状体の運動などに対して，その適用範囲を模索し拡大してきた．しかし，格子法に比べるとその実績は少なく歴史が浅いゆえに，計算精度や数値的安定性，境界条件モデル，大規模高速化など，現在でも様々な改良が試みられている．

粒子法には主に，分子運動をモデル化するMolecular Dynamics（MD）や粉体などの粒状体をモデル化するDiscrete Element Method（DEM），さらに流体のような連続体をモデル化するMoving Particle Simulation（MPS）やSmoothed Particle Hydrodynamics（SPH）などが有る．特に連続体の運動を扱うMPSやSPHでは，構成方程式を粒子で離散化することに起因して生じる問題は尽きることがなく，計算精度や数値的安定性の面で格子法と比較される場合が度々生じる．そのため近年の研究では，格子法で扱われる問題を粒子法でも扱えるようにするために，計算精度やモデルの改良が行われている．例えば，レイリーテイラー不安定性に代表されるような二相流の不安定性問題を再現するための試みが多く行われている[1, 2, 3, 4]．また，津波先端の砕波形状や波圧を正確に再現するための改良も盛んに行われている[5, 6, 7]．さらに，微分方程式の離散化の精度についてモデルの理論的な改良も行われている[8, 9, 10, 11]．この様に，計算手法としての信頼性を確立し，粒子法の更なる普及に向けた研究開発が活発に進められている．

一方，High-Performance Computing（HPC）分野においては，粒子法に対する大規模高速化アルゴリズムの開発が近年急速に進んでいる．格子法とは異なり，粒子法は計算が進むにつれて粒子が自由に動くため，計算途中で計算領域を変更して負荷分散を行う動的負荷分散手法や，さらには空間充填曲線を用いた計算領域分割法など，粒子法に対する高効率な並列計算手法の開発が進められてきた[12, 13]．そのため，近年では粒子法で億単位の粒子数を扱えるのが一般的になってきており（動画1），HPCに関する最大の国際会議であるSC'17で発表も行われている[14]．また，大規模計算機資源の共同利用プロジェクトであるJHPCNの活用も積極的に行われており，2017年度はプラズマ，原子・分子，津波防災，船舶浸水，高精度化について粒子法関係で7件ほど採択されている．

さらに，粒子法を用いた流体と固体や粒状体との連成解析も積極的に行われている．特に，津波と構造物に関する流体構造連成[15, 16]を扱う研究例が多く見受けられ，MPSとFinite Element Method（FEM）の連結境界条件モデルの開発[17]や，ADVENTUREによるFEMとSPHの大規模連成解析[18]が試みられている．また，津波による防潮堤の倒壊やマウンド地盤の洗掘や液状化を計算するために，DEMとSPHを用いた連成解析（動画2）も行われている[19, 20]．さらに，Lattice Boltzmann Method（LBM）や格子法で流体を計算し，粒状体はDEMで計算することで，流動層の計算も行われている[21, 22, 23]．

また，新しい粒子法ベースの計算手法も生まれてきている．例えば，PFEM [24]は計算点とその物理量の移動を粒子法の様にラグランジュ的に計算し，その計算点に基づきメッシュ生成を行うことで連続体の分裂や大変形を可能とする粒子法ベースのFEMであり，国外で開発が進められている．国内では，粘弾性変形できる粒子同士の接触計算を可能にするQDEMが開発され，GPUを用いた並列化により鉄道バラスト軌道の解析（動画3）に応用されている[25]．さらに，国外で広まりつつあるMaterial Point Method（MPM）の動向[26]にも今後注視していくべきであろう．MPMは格子法と粒子法の欠点を補い合うことで連続体の大変形・不連続問題を扱う手法であり，日本でも今後普及する日が近いかもしれない．いずれにせよ，新しい手法の普及のためには他の粒子法と同様に信頼性を確立するためのモデルの検証と改良，大規模化は必要不可欠となるであろう．

この様に，粒子法の計算技術は年々進化し，高度化されてきている．その反面，粒子法の計算コードは複雑になり，初心者が手を付け難くなっているのも現状である．しかし，並列化手法など高度な計算技術を実装した粒子法のフリーソフトウェアも充実してきており，粒子法の普及に一翼を担っている．並列化を実装している粒子法のフリーソフトとして，SPHに関してはGPUへの実装も可能なDualSPHysics [27]，MDに関してはLAMMPS [28]，DEMに関してはLIGGGHTS [29]などが主に海外で開発が進められている．またLAMMPSやLIGGGHTSはOpenFOAMとの流体連成も可能になっている．国内では，粒子法コードの開発環境としてFDPS [30]があり，並列化効率の高い動的負荷分散手法を実装した粒子法コードの開発を可能にしている．

最後に，2017年度の国内外の学会発表状況について概要をまとめておく．国内では計算力学講演会（CMD2017）や計算工学講演会において，粒子法とメッシュフリー法に関するセッションが毎年企画されており，それぞれ10件および24件の発表が行われ，他のセッションと比べても例年多数の発表が行われている．さらに，大規模計算や地盤工学，防災関係のセッションでも粒子法に関する研究発表がなされている．また，土木学会主催の応用力学シンポジウムでは計算力学のセッションで，日本流体力学会主催の数値流体力学シンポジウムでは離散要素型解法，混相流体，複雑流体の流れといった様々なセッションでSPHやMPS，DEMを用いた研究発表が行われている．さらに粉体工学会では，計算粉体力学分野や化学工学分野におけるDEMを用いた研究について，春と秋の年2回に渡って多数の発表が行われている．また，粉体工業展（POWTEX）では特別展示として粉体シミュレーションゾーンが設けられ，粒子法ソフトウェアを扱う企業や大学，研究機関が毎年10社程度展示を行っている．国外では，SPHに関するワークショップSPHERIC 2017 [28]がスペインで開催され，延べ60件程度の発表が行われた．また9月にはドイツにて粒子法全般を対象とした国際会議としてPARTICLES 2017 [32]が開催され，300件近い発表が行われた．10月には計算工学の国際会議としてCOMPSAFE 2017 [33]が中国で開催され，防災や地盤工学分野における粒子法関連の研究について20件程度の発表が有った．

以上の様に，国内外および学協会の垣根を超えて研究交流を積極的に行い，粒子法およびメッシュフリー法におけるモデル化や高精度化，大規模化について研究開発を着実に進め，今後さらなる発展と普及が成されることが期待される．

〔西浦　泰介　海洋研究開発機構〕

3・7　フェーズフィールド法

計算力学講演会におけるフェーズフィールド（PF）法のオーガナイズドセッション（OS）も10年を超え，いまやPF法は，材料組織形成シミュレーションを中心に，計算工学における一般的な手法となった．これを裏付ける象徴的な出来事として，2017年に，PF法の洋書の教科書（専門書ではなく）が相次いで出版された[1, 2]．またPF法の分野別レビューも複数現れた（MgおよびAl合金[3]や，原子炉材料のレビューペーパー[4]）．PF法全体ではなく，その中の限られた一つの分野においてでさえ，レビューが成立している点に着目されたい．

さて，昨今，人工知能やマテリアルズ・インフォマティクス（マテリアルズ・インテグレーションとも呼ばれる）の分野が，加熱しすぎと思われるほど注目されている[5]．PF法は主に非線形な現象を計算対象とするので，非経験的な解析は本質的に困難である．したがって，PF法はもともとデータサイエンス手法（データ同化や逆問題によるパラメ−タ推定など）の恩恵が大きく期待できる分野であると言える．機械学習の手法をPF法に応用する研究（アンサンブルカルマンフィルターの適用[6]）や，機械学習の手法でPF法の理論自体を書き直してしまう場合（アジョイント法の理論で，PF法の方程式系をアジョイント方程式系へ理論式レベルで変換する[7, 8]）など，最近，様々な新しい展開が始まっている．PF法分野へのデータサイエンス手法の活用法は，PF法の種々の階層において無数に考えられるので，今後，多様な分野を巻き込み・巻き込まれながら，この方向性は世界的に拡大・深化していくであろう．なおマテリアルズ・インフォマティクスなる用語が，”インフォマティクスに力点が置かれ過ぎているのでは？”という理由で，マテリアル側に重点を置く場合には，” Informational Materials Scienceとしてはどうか”との議論が始まっている．Computational Materials Scienceとの対応を意図した用語で，ある意味，わかりやすいようにも思うが，今後どのように進展するかは不明である．ただ一時の流行が落ち着き，この分野が，分野の顔となる用語に対し本質的な議論をする段階に到達したとする認識は重要と思われる（当該分野が次のステージに移行し始めた兆候であろう）．

上記以外のPF法全体の流れについて概観してみよう．まず凝固の分野では，引き続きマルチスケール解析を視野に置いたPF法の大規模計算が進展中である[9]．定量的フェーズフィールドモデルの高度化も，定常的に続けられており，その定式において汎関数微分に基づく更なる一般化が進行している[10]．凝固分野は，PF法が世界的に拡大する礎を築いた分野であるが，2017年に，かなりまとまった優れたレビューペーパーが中国の鉄鋼関連雑誌から出版された[11]．これは，PF法の分野においても，特に実用材料を中心に，中国の躍進がこれから大きく進むことを予感させるものである．また近年，米国を中心に，積層造形（もしくは3Dプリンティング）の研究が勢力的に進められている[12]．PF法との関連では，凝固プロセスの最適化とトポロジー最適化が関係し，さらに素材の観点からは，ハイエントロピー合金開発[13]が関与している．この分野は，技術的にも学問的にも一つの大きな体系に成長していく可能性が高く，PF法の一大展開分野として，今後注視すべきであろう．

次にPF法自体の計算手法に関する新しい動きをまとめる．通常の相変態を記述するPF法では，均一場の自由エネルギーに，ギブスエネルギーが利用されるが，近年，グランドポテンシャルを用いた手法が，独国のカールスルーエ大学（KIT）のグループから提案された[14]．この手法は微量添加元素が関与する組織形成の計算に威力を発揮すると思われ，新しい手法として注目される．また2012年にSteinbachらによって提案された非平衡PF法についても，関係式の論理的な拡張が進められている[15, 16]．

冒頭で述べたようにPF法の大衆化が進んだ結果，PF法のオープンソースコードに関する議論が最近活発化している（ちなみにPF法の商用ソフトウェアは，現在，独国ACCESS社のMICRESSのみである[17]）．PF法のオープンソースコードとしては，独国におけるOpenPhase [18]が有名であるが，近年，米国のNational Institute of Standards and Technology（NIST）が提供しているPython版の有限差分法コードFiPyに，PF法の適用例がラインナップされ始めた[19]．今後，世界的に様々な機関において，オープンソースコード提供が増加すると予想される（有限要素法の黎明期の状況に近いかもしれない）．なおわが国では，世界に先駆けて，いち早くソースコード付きのPF法の演習書が出版されている点を記しておく[20]．

PF法自体の発展はこれからも定常的に続いていくと思われるが（例えば，昨年では表界面拡散の新しい定式化など[21]），PF法の種々の方面への分化が今後，加速する可能性が高い．有限要素法や数値流体力学の歴史が参考になると思う．過去の教訓を踏まえつつ，かつこれまでの常識にとらわれない柔軟な思考が，特にPF法のこれからの数年間の発展において大切となると考える次第である．

〔小山　敏幸　名古屋大学〕

3・8　最適化・設計情報学

2017年度は，Donostia/San Sebastian, Spainで6月5日（月）–8日（木）に開催されたthe IEEE Congress on Evolutionary Computation（CEC）2017が例年同様に充実しており，採択された358本の論文はいずれも読み応えのある最新の成果となっている．この御蔭もあり，最適化，データマイニング，実問題への応用いずれも充実した研究成果が発表された1年であった．特に，これまでアルゴリズム寄りだった採択論文に実問題への応用内容が目に見えて増えてきており，今後もこの傾向が続くものと期待される．これら第一級の国際学会投稿に向けた前哨戦として利用される進化計算学会の研究会やシンポジウムの充実ぶりも刮目しない訳にはいかない．なお蛇足ながら，2018年度にはThe Genetic and Evolutionary Computation Conference（GECCO）2018が（おそらく最初で最後のアジア開催と思われるが）祇園祭真っ只中の京都での開催となった．2018年度の日本は本分野にとって最も熱い国となる．

3・8・1　最適化手法

2017年9月に公開された論文[1]は衝撃的な内容である．Professor Deb, K．によってNSGA-IIが開発された2002年から日進月歩で研究が進んできた進化計算は様々な派生手法を産出し続けており，2016年に発表された（かつ性能比較も終えた）state-of-the-artな手法だけでも5種（VaEA，θ-DEA，MOEA/D-DU，EFR-RR，およびRVEA）に上る．いずれも，発表論文では良好な性能を有することが報告されているものばかりだが，実問題に応用することを前提とした条件，すなわち探索中に得られた全ての非劣解集合を保持する無限アーカイブを用いて評価すると，IBEAやMOEA/Dといった古典的（といっても高々十数年前の発表なのだが）に劣ることが明らかになったのである．さらに，多数目的問題用に開発されたMOEA/DD，I-DBEAよりもMOEA/D，MOEA/D-DE，MOEA/D-DRA，MOEA/D-STMといった多目的問題用に提案された手法の方が良好な性能を示すことが判明した．近年の進化計算コミュニティでのアルゴリズム開発競争は激化の一途を辿っているが（先述のIEEE CECやGECCO，あるいはInternational Conference on Evolutionary Multi-Criterion Optimization; EMOでは大々的にアルゴリズムのコンペティションを行っている），進化計算の設計思想（道具として捉えるか純粋数学問題と捉えるか）によって，その性能評価方法を再考しなければならない岐路に立たされている．いずれにせよ，古典的手法からstate-of-the-artな手法まで基本的にネット上に全て公開されており（最近MATLABにも組み込まれた[2]），道具として使う場合に自分でコードをゼロから組む必要が全くなくなったのは有り難い．なお，道具として捉える場合は，制約条件の取り扱いに関する研究が不足しており，今後一層必要となることを付記する．

3・8・2　データマイニング

現在情報科学分野におけるデータマイニングのホットトピックは時系列データに代表される非定常データセットへのマイニングである．陳腐な表現をすればビッグデータの活用ということになるだろうか．始めに思いつく固有直交分解（proper orthogonal decomposition; POD）の応用事例に困ることはなく，2017年度も例えば風力タービン結果の解析に使われている[3]．古典的なデータマイニング手法に基づいたアプローチもあり，決定木に基づいたドリフト検出アルゴリズムが提案されてもいる[4]．また，最適化問題の現在の課題である多数目的問題の結果をいかに解釈するか，という視点から平行座標表示法の活用法を議論した論文も興味深い[5]．本道は，スパースモデリングであろう．例えば，ガウス判別解析を利用した予測手法[6]，スパース構造学習による異常構造検出方法[7]，ベイズ推定に基づくヒューリスティック同定法[8]，ベイズネットワークと深層学習による時系列データ予測法[9]，あるいは進化的学習分類子によるルール創出法[10]など，最新研究には事欠かない．

このように方法論が繚乱する中，注目すべきは位相的データ解析（topological data analysis; TDA）である．本方法論は，時系列データを含む深層学習が不得意なデータセットに対し，データ構造の幾何学的数理解釈を行うもので，カオス的/非カオス的に依らずデータの性質を選り好みしないため，応用範囲に制限がなく（例えば論文[11]のように，現状医学分野への応用が多い）今後の発展に期待される．非定常データ自体は新たに生成する必要もなく日常生活に大量に横溢しているため，応用対象も選り取り見取りである．現在は試行錯誤期と捉えられ，研究は裾野が広がる傾向にあるが，今後もしばらくは同様の時期が続くものと思われる．

データマイニングの一環として必要不可欠な結果の可視化も手法の試行錯誤は続く．当該分野も最新研究を列挙すれば枚挙にいとまがないが，最適化と絡めた研究をピックアップすると，多目的最適化結果である最適解集合体の可視化法の研究[12]は，シンプルであるが故に困難さが浮き彫りになっている．試行錯誤の過程もまとまっているので面白い．あるいは，Reebグラフを利用した多数目的最適解集合体の目的関数空間構造解析[13]も今後の発展性が期待される興味深い研究である．

3・8・3　実問題への応用

列挙し始めると切りがなく，また網羅することも不可能なので，筆者の専門領域である航空宇宙分野に特化すると，“Computational Intelligence in Aerospace Science and Engineering”なる特集号が組まれた2017年11月発行のIEEE Computational Intelligence Magazine vol.12, no.4が本分野の実問題応用の現状をよく教えてくれている．厳しい査読の末採択された論文は4本で，共分散行列適応進化戦略を用いた超音速機自然層流翼のロバスト設計[14]，新提案のMarkovモデルを用いた無人航空機（unmanned aerial vehicle; UAV）運用[15]，自己適応メカニズムを組み込んだ蟻コロニー最適化を用いた宇宙ステーションでの船外活動ミッションプラン作成[16]，および既存の機械学習手法を駆使した航空機設計における知識伝達[17]，といった多岐に渡る充実ぶりである．2017年度は構造分野の研究があまり見られなかったが，変わらずトポロジー最適化は先駆的である．これまで，流体構造連成問題がトピックとなったように，トポロジー最適化を含めた多分野融合最適化[18]，つまりより実設計に近い応用研究が隆盛となり，計算機の中だけで終わらない，計算力学の本来の威力を実社会に発揮する方向に進むことは間違いない．

〔千葉　一永　電気通信大〕

3・9　機械学習

機械学習とは，次のようなアルゴリズムによる学習的に分類・認識または補間などが実行できる方法であると言える．

• 決定木（識別）
• ベイジアンネットワーク（識別）
• ニューラルネットワーク（識別）
• サポートベクターマシン（識別）
• k-means, x-means（モデル推定）
• 変分オートエンコーダー，Generative Adversarial Network（識別・生成）
• アンサンブル学習（性能向上のための手法）

などこれら以外にも日々新しい考えやアルゴリズムの改良が行われており，今まさに急速に進行中の分野である．基本的な考え方や計算手法自体は昔から存在していた．しかし，その限界もよく知られていた．今から25年ほど前にも計算力学分野においてニューラルネットワークの工学問題への適用を試みたが，過学習や学習データの不足，計算機能力の限界によるニューラルネットワークの学習能力の限界など多くの課題があった．本稿では最も注目を集めているニューラルネットワーク特に深層学習（＝大規模入力，多階層のニューラルネットワーク）についての最新動向について記す．

第29回計算力学講演会（2016年9月）にて機械学習（主にニューラルネットワークの利用）の発表件数が6件だったが，第30回計算力学講演会（2017年9月）では機械学習のOSが1件，その他セッションの発表も合わせて16件まで増加した．また，筆者もこの1年で機械学習に関係する講演を合計4回行った．NVIDIA主催のGPU TECHNOLOGY CONFERENCE（GTC）[1]にはAI，特にディープラーニングに関する会議として注目を集めている．その適用が期待される分野には，自律・自動走行車，スマート シティ，ヘルスケア，ビッグ データ，ハイパフォーマンスコンピューティング（HPC），ヴァーチャルリアリティ（VR）等が挙げられている．しかし，画像解析による応用はその事例は多数見受けられるが，一方で物理現象，工学設計における応用方法が全く示されていないまたは画像的な取扱でデータ学習させる傾向が強くある．GTCでは新しいハードウェアの紹介も頻繁に行われ，GPUの性能は機械学習の大規模化に大きく貢献し性能向上が確実に進んでいる．機械学習の普及の一役を担う，GPUによる学習時間短縮を実現する機械学習ライブラリである．このライブラリはいくつか種類があり，TensorFlow（Google, USA），Caffe（Berkeley AI Research, USA），Chainer（Preferred Networks，日本），Theano（University of Montreal, Canada）など複数ある．多くの場合Pythonにより記述されGPUの能力を利用した高速な学習が可能となっている．

USNCCM2017（米国計算力学学会）においてE. Haberによりディープラーニングの新しい学習方法の提案がSemi-plenary lecture [2]があった．この講演における要旨は，計算力学の手法をディープニューラルネットワークの学習に適用することにより計算科学研究者の提案よりさらに効果的な学習が達成できるという点である．学習手法に対するブレークスルーを示唆する画期的な発表があった．こういった活発な研究活動に呼応するようにCAEに対するAIおよびディープラーニングへの適用の期待も高まっている[3, 4, 5, 6]．2018年7月に開催予定の13th World Congress in Computational Mechanicsにおいては，Data Driven Analysis and Machine Learningと分類された機械学習・ビックデータ分析に関連するセッションは7つにものぼる．複雑な問題，多入力・他出力のディープニューラルネットワークの学習方法の進歩に大きく貢献することが現在進行している．一方で，トヨタ自動車は，自動運転実現のためにはあと142億万kmの走行距離が必要だという試算を示している[7]．この数値は，技術のある運転手が10 000人・台が一人1万㌔メートル以上の走行距離が必要だと示唆している．学習は人間の経験と相対するところがある．例えば，事故，回避などのアクシデント事例は特に学習が必要であるが，そういったケースは全体のデータに対する学習ケース（時間）は少ない．特殊な状態はそもそも発生頻度が低いがために，学習するためのデータ数が少なくなる．このことは，多くの工学応用に関して常に問題となる．また，多くの工学問題ではどの場所のどのような物理量を学習させればよいのかの知見が全くないことが大きな課題であると指摘できる[6]．

計算力学の計算アルゴリズムやHPCの利用技術などの知見は，機械学習へ十分に貢献できる．特にHPCと計算力学の援用により生成された学習データは，計測に比べてノイズの影響がないため均質であり扱いやすい．こういった理想的な学習データを利用できることは機械学習と計算力学の親和性は高いと言える．学習方法のアルゴリズムだけではなくHPCの有効利用，データ生成手法の提案などの積極的貢献が期待できる．

〔和田　義孝　近畿大学〕

3・10　産業界での計算力学

計算機能力の進展に伴って，産業界における計算力学は，現象のメカニズムに基づいて材料・構造等を設計するためのマルチフィジックス・マルチスケールシミュレーションの活用に加え，こうしたシミュレーションのデータを最適化技術・情報科学・人工知能（Artificial Intelligence，AI）等で分析して最適な構造・材料を効率的に設計するx-インフォマティクスが盛んにおこなわれるようになってきた．このxには，ケモ（化学），創薬，バイオ，フルード（流体），マテリアルズ（材料）等が入り，様々な分野で最適設計の技術進展が見られている．ケモ（化学），創薬，バイオなどは実験データを用いて最適化を図る形で比較的古くから進められているのに対して，フルード（流体）やマテリアルズ（材料）などは計算機シミュレーションによって特性を予測できるようになってきたため，シミュレーションデータを用いる形での最適化が主流となりつつある．2017年12月に日本機械学会の流体工学部門の主催により開催された講習会「工学とインフォマティクス～最適化からビッグデータ活用まで」においては，実世界に存在する不確かさを数理モデル化して流体解析に取り入れ，不確かさに対する物理量の挙動を定量的に評価することで，複雑な流体現象の正しい理解と，実用に耐えうる工学製品の創出に向けた取り組みが紹介された[1]．この講習会では，フルード・インフォマティクスの重要性に加えて，マテリアルズ・インフォマティクスの要素技術である機械学習やベイズ推論等も紹介された．マテリアルズ・インフォマティクスは，材料のサイズや形状といった通常の連続変数のほか，原子半径や格子定数等の離散変数を設計変数として扱うこともあるといった特殊性があるため，以下ではこれについてのトピックスを紹介する．

マテリアルズ・インフォマティクスは，2011年に米国がマテリアルズ・ゲノムとして国策に挙げたことをきっかけに，各国で国家プロジェクトが始められるなど，ブームとなっており，日本でも注目を浴びている[2]．無機材料分野での適用先としては，熱電変換素子の材料や電池の正極材料，磁石材料等が報告されている[3]．また，有機材料の分野においては，タイヤ用のゴム材料を最適化した事例が報告されている[4]．このゴム材料設計においては，粗視化分子動力学シミュレーションや動的粘弾性シミュレーションが活用されており，タイヤの転がり抵抗や，応力のばらつき等を抑制する上で有効なゴム材料を設計している．設計変数としては，シリカやカーボン等の充填材（フィラー）の粒子径，充填材の体積分率，充填材とゴムの間にある境界材料の厚さ等の連続変数を扱っている．ゴムの動的粘弾性シミュレーションには，東京工業大学のスーパーコンピューター「TSUBAME 2.5」が使われており，6 000回のシミュレーションデータを学習させることで，設計指針が得られている．結果としては，充填材の粒子径を小さくし，境界材料の厚さを薄くすることで，前記のようなゴム特性（転がり抵抗や応力のばらつき等）を制御した内容となっており，大規模計算技術と計算データの機械学習技術が役立っていることがわかる．

次に，設計変数として通常の連続変数ではなく，原子半径や格子定数といった離散変数が用いられたマテリアルズ・インフォマティクスのトピックスについて紹介する．一つ目は，鉛フリーはんだの破断伸びを向上させる上で最適な添加元素を選定した例である[5]．添加元素を様々な元素に変えながら，鉛フリーはんだの破断伸びを分子動力学シミュレーションで計算してデータを取得し，応答曲面法によって関数化している．ここでは，添加元素の原子半径と凝集エネルギーを設計変数とし，目的関数として破断伸びをとった場合に，破断伸びがどこで最大になるかを関数の最大値問題として解いている．結果としては，原子半径がスズ（はんだの母材）に近く，凝集エネルギーが小さい添加元素が破断伸びを向上させるという最適設計指針が導かれている．原子半径や凝集エネルギーのような変数は，実在する元素に対応したとびとびの値しかとらない離散変数となってしまうため，自由に変化させてシミュレーションすることができない．また，分子動力学シミュレーションは計算負荷も大きいために候補となる全ての添加元素について破断伸びを計算するわけにはいかない．そこで，精度の高い応答曲面（関数）を少数のデータから得るために，直交表等を活用し，実在する元素の中から添加元素を過不足なく選定して破断伸びのデータを取得する手法を使っている．

離散変数を設計変数とするマテリアルズ・インフォマティクスの別の例としては，セラミックス格子定数を設計変数とした例が報告された[6]．有機エレクトロニクス等に用いられるピレン分子（ベンゼン環が4個ひし形のように結合した分子）との密着強度に優れたセラミックス材料を設計した例がある．セラミックスを様々な材料に変えながら，ピレン分子との密着強度を分子動力学シミュレーションで計算してデータを取得し，応答曲面法で関数化している．ここでは，セラミックスの短辺格子定数と長辺格子定数を設計変数とし，目的関数として剥離エネルギーをとった場合に，密着強度がどこで最大になるかという最大値問題に帰着している．結果としては，短辺格子定数が0.243 nmであり，長辺格子定数が0.421 nmである場合に密着強度が最大となることが導かれ，シリカ/アルミナ/チタニアの積層材料が最適材料として導かれた．短辺格子定数と長辺格子定数は，実在するセラミックスに対応したとびとびの値しかとらない離散変数となってしまうため，自由に変化させてシミュレーションすることができない．また，計算時間が膨大となるために候補となる全てのセラミックスについて密着強度を計算するわけにはいかない．そこで，精度の高い予測関数を少数のデータから得るために，直交表を活用し，実在するセラミックスの中から過不足なく選定して密着強度のデータを取得する手法をここでも使っている．

以上の通り，サイズや形状といった通常の連続変数を設計変数とする機械系の最適設計に加えて，原子半径や格子定数等の離散変数を設計変数とし，変数を自由に変化させることができない材料設計の分野においてもインフォマティクスの活用による設計の効率化が盛んになってきている．これにより，様々な分野で設計が高効率化されることが期待される．

〔岩崎　富生　（株）日立製作所〕

 

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