今回は流れを支配する支配方程式を導出する．前回は定常流を考えたが，今回はより一般的に流れは時間と共に変化する非定常流として，図7-1に示す微小な検査体積を考えよう．座標を$x$, $y$, $z$で定義し，それぞれの方向の速度を$u$，$v$，$w$とする．検査体積の各辺は$dx$, $dy$, $dz$とし，中心の座標は$x_0$, $y_0$, $z_0$とする．流体の密度は$\rho$，粘性係数は$\mu$とする．

質量及び運動量の保存から始めて，ニュートン流体かつ非圧縮性流れの連続の式及びNavier-Stokes方程式を導出しよう．Navier-Stokes方程式は$x$, $y$, $z$方向の合計3本の式から構成され，連続の式と合わせて4本の式となる．変数は速度$u$，$v$，$w$と圧力$p$であるため，変数の数と一致する．

図7-1 検査体積

ここでは検査体積の質量の時間変化を考える．