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第4回：熱応力(13:03)

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1　はじめに

物体の温度が変化すると，熱ひずみが生じる。この熱ひずみに伴って発生する応力が，熱応力である。本稿では一次元の棒の引張・圧縮問題を中心に，基本的な熱応力の問題について考える。熱応力の問題は，一般に典型的な不静定問題となることにも注意して頂きたい。

2　線膨張係数と熱ひずみ

固体材料は一般に温度の変化に伴ってその体積が変化する。$\Delta T$の温度変化によって棒の長さが$l_0$から$l$に変化した場合を考える。ここで，温度変化により生じたひずみ$\bar{\varepsilon}$を熱ひずみと定義する。

\[\bar{\varepsilon} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{l – l_0}{l_0}\]

(1)

温度変化が比較的小さな場合には，熱ひずみ$\bar{\varepsilon}$と温度変化$\Delta T$の関係は比例するとみなすことができ，比例定数を$\alpha$として以下の関係式が成立する。

\[\bar{\varepsilon} = \alpha \Delta T\]

(2)

ここで，式(2)における$\alpha$は線膨張係数（ないしは，線膨張率，熱膨張係数）と呼ばれ，材料固有の値をとり，その単位は[1/K]となる。表3.1に代表的な工業材料の線膨張係数を示しておく。

表3.1　さまざまな材料の線膨張係数

 

3　熱ひずみを考慮したフックの法則

一次元の弾性体における応力$\sigma$とひずみ$\varepsilon$の関係，

\[\sigma = E \varepsilon\]

(3)

はすでに述べた通りであるが，ここでは熱ひずみが発生した場合のフックの法則について考える。物体が何も拘束されていないとすれば，温度が変化しても，物体に熱ひずみが生じるだけで，物体の内部には何の応力も発生しない。つまり，物体に発生する応力は熱ひずみによって発生するのではなく，弾性変形に対応するひずみ，すなわち，弾性ひずみによって発生することを強調しておきたい。つまり，温度変化を伴う場合のひずみ$\varepsilon$は，熱ひずみ$\bar{\varepsilon}$と弾性ひずみ$\tilde{\varepsilon}$の和として，

\[\varepsilon = \bar{\varepsilon} (\text{熱ひずみ}) + \tilde{\varepsilon} (\text{弾性ひずみ})\]

(4)

のように定義される。弾性ひずみ$\tilde{\varepsilon}$と応力$\sigma$の間には式(3)のフックの法則が成り立つので，式(3)と式(4)より，以下の関係式が導かれる。

\[\sigma = E \tilde{\varepsilon} = E (\varepsilon – \bar{\varepsilon})\]

(5)

この式が，温度変化を伴う物体におけるフックの法則である。くれぐれも，応力に比例するのは弾性ひずみのみであることに留意されたい。

4　熱応力に関するさまざまな例題

4.1　両端を固定された棒に生じる熱応力

直径$d=10{\rm mm}$，長さ$l=500{\rm mm}$の軟鋼丸棒があり，両端が剛体壁に固定されている（図3.1）。温度20℃の状態から，温度を150℃に上げた。この際に棒に生じる熱応力を求めよう。なお，棒のヤング率は$E=210{\rm GPa}$，線膨張係数は$\alpha = 11 \times 10^{-6}/{\rm K}$であり，温度20℃の状態では熱応力は生じていないものとする。

図3.1　両端を固定された棒に生じる熱応力

棒に生じるひずみを計算すると，弾性ひずみ$\tilde{\varepsilon}$と熱ひずみ$\bar{\varepsilon}$の和が0となることより，

\[\tilde{\varepsilon} (\text{弾性ひずみ}) = -\bar{\varepsilon} (\text{熱ひずみ}) = -\alpha \Delta T\]

よって，棒内部に発生する応力は以下のとおり。

\[
\begin{split}
\sigma &{}= -E \alpha \Delta T = -210 \times 10^9 \cdot 11 \times 10^{-6} \cdot (150 – 20) \\
&{} \simeq -300 \times 10^6 = -300 {\rm [MPa]} (\text{圧縮}) \quad (\text{答})
\end{split}
\]

4.2　直列に接続された棒に生じる熱応力

ヤング率$E_1$，長さ$l_1$，直径$d_1$，線膨張係数$\alpha_1$の丸棒と，ヤング率$E_2$，長さ$l_2$，直径$d_2$，線膨張係数$\alpha_2$の丸棒が直列に結合されており，その両端が剛体壁に固定されている。棒全体の温度を$T_0$から$T_1$に上昇させた場合について，区間A–Bおよび区間B–Cに生じる熱応力を求めよう。温度$T_0$の状態において，棒には応力は生じていない。

図3.2　直列に接続された棒に生じる熱応力

温度を$T_0$から$T_1$に上昇させたとき，区間A–B，B–Cのそれぞれにおいて生じる熱ひずみ$\bar{\varepsilon}_1$，$\bar{\varepsilon}_2$は以下のように表される。

\[\bar{\varepsilon}_1 = \alpha_1 (T_1 – T_0), \quad \bar{\varepsilon}_2 = \alpha_2 (T_1 – T_0)\]

棒が壁から受ける反力の大きさを$R$とおく。区間A–B，B–Cの各区間における断面積は，$A_1 = \pi d_1^2/4$，$A_2 = \pi d_2^2/4$であるから，それぞれの区間における弾性ひずみ$\tilde{\varepsilon}_1$，$\tilde{\varepsilon}_2$は，

\[\tilde{\varepsilon}_1 = -\frac{4R}{\pi d_1^2 E_1}, \quad \tilde{\varepsilon}_2 = -\frac{4R}{\pi d_2^2 E_2}\]

となる。区間A–B，B–Cそれぞれにおけるひずみ$\varepsilon_1$，$\varepsilon_2$は熱ひずみと弾性ひずみの和になるので，

\[\varepsilon_1 = \bar{\varepsilon}_1 + \tilde{\varepsilon}_1 = \alpha_1 (T_1 – T_0) – \frac{4R}{\pi d_1^2 E_1}\]

\[\varepsilon_2 = \bar{\varepsilon}_2 + \tilde{\varepsilon}_2 = \alpha_2 (T_1 – T_0) – \frac{ 4R}{\pi d_2^2 E_2}\]

よって，それぞれの区間の伸び$\lambda_1$，$\lambda_2$は，

\[\lambda_1 = \varepsilon_1 l_1 = \left\{ \alpha_1 (T_1 – T_0) – \frac{4R}{\pi d_1^2 E_1} \right\} l_1\]

\[\lambda_2 = \varepsilon_2 l_2 = \left\{ \alpha_2 (T_1 – T_0) – \frac{4R}{\pi d_2^2 E_2} \right\} l_2\]

棒の両端は固定されているから，区間A–B，B–Cにおける伸びの和は0となる。すなわち，

\[\left\{ \alpha_1 (T_1 – T_0) – \frac{4R}{\pi d_1^2 E_1} \right\} l_1 + \left\{ \alpha_2 (T_1 – T_0) – \frac{4R}{\pi d_2^2 E_2} \right\} l_2 = 0\]

上式より，壁からの反力$R$を求めると，

\[R = \frac{\pi d_1^2 d_2^2 E_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_1 l_1 + \alpha_2 l_2)}{4 (l_1 d_2^2 E_2 + l_2 d_1^2 E_1)}\]

最終的に，反力$R$を各々の区間の断面積で割ることにより，区間A–B，B–Cに作用する熱応力$\sigma_{\rm AB}$，$\sigma_{\rm BC}$が求められる。

\[\sigma_{\rm AB} = -\frac{R}{A_1} = -\frac{d_2^2 E_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_1 l_1 + \alpha_2 l_2)}{l_1 d_2^2 E_2 + l_2 d_1^2 E_1} \quad (\text{答})\]

\[\sigma_{\rm BC} = -\frac{R}{A_2} = -\frac{d_1^2 E_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_1 l_1 + \alpha_2 l_2)}{l_1 d_2^2 E_2 + l_2 d_1^2 E_1} \quad (\text{答})\]

4.3　並列に接続された棒に生じる熱応力

長さ$l$，断面積$A$の3本の棒I，棒II，棒IIIが並列に並べられ，その左端が剛体壁に固定されている（図3.3）。また，棒の右端は剛体の板で連結され，ともに同じ変位が生じるように拘束されている。棒I，棒IIIのヤング率は$E_1$，棒IIのヤング率は$E_2$，棒I，棒IIIの線膨張係数は$\alpha_1$，棒IIの線膨張係数は$\alpha_2$（ただし，$\alpha_2 > \alpha_1$）である。棒の温度を，応力が発生していない$T_0$の状態から$T_1$に上昇させたところ，3本の棒に熱応力が発生した。各々の棒に発生した熱応力を求めよう。

図3.3　並列に接続された棒に生じる熱応力

温度が$T_1$の状態において棒Iと棒IIIに作用する軸力を$P_1$，棒IIに作用する軸力を$P_2$とすれば，これらの力のつり合いは，

\[2P_1 + P_2 = 0\]

(6)

棒I，棒IIIにおけるひずみは，弾性ひずみと熱ひずみの和であるから，

\[\varepsilon_1 = \bar{\varepsilon}_1 + \tilde{\varepsilon}_1 = \alpha_1 (T_1 – T_0) + \frac{P_1}{A E_1}\]

同様に棒IIにおいて，

\[\varepsilon_2 = \bar{\varepsilon}_2 + \tilde{\varepsilon}_2 = \alpha_2 (T_1 – T_0) + \frac{P_2}{A E_2}\]

よってそれぞれの棒の伸び$\lambda_1$，$\lambda_2$は，

\[\lambda_1 = \varepsilon_1 l = \alpha_1 l (T_1 – T_0) + \frac{P_1 l}{A E_1}\]

\[\lambda_2 = \varepsilon_2 l = \alpha_2 l (T_1 – T_0) + \frac{P_2 l}{A E_2}\]

ここで，棒の伸びはすべて等しいので，$\lambda_1 = \lambda_2$である。よって，

\[\alpha_1 l (T_1 – T_0) + \frac{P_1 l}{A E_1} = \alpha_2 l (T_1 – T_0) + \frac{P_2 l}{A E_2}\]

(7)

式(6)，(7)を連立して$P_1$，$P_2$を求めると，

\[P_1 = \frac{AE_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_2 – \alpha_1)}{2E_1 + E_2}\]

\[P_2 = -\frac{ 2AE_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_2 – \alpha_1)}{2E_1 + E_2}\]

最終的に棒I，棒IIIに生じた熱応力$\sigma_1$と，棒IIに生じた熱応力$\sigma_2$が以下のように求められる。

\[\sigma_1 = \frac{P_1}{A} = \frac{E_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_2 – \alpha_1)}{2E_1 + E_2} \quad (\text{答})\]

\[\sigma_2 = \frac{P_2}{A} = -\frac{2E_1 E_2 (T_1 – T_0) (\alpha_2 – \alpha_1)}{2E_1 + E_2} \quad (\text{答})\]

演習問題 3.1：線膨張係数が温度依存性を有する場合

ある物体の線膨張係数が温度$T\,[{\rm K}]$の関数として，

\[\alpha(T) = 6.0 \times 10^{-9} T + 8.0 \times 10^{-6}\,[1/{\rm K}]\]

と与えられている場合，この物体の温度を293Kから353Kまで上昇させたときに生じる熱ひずみを求めよ。

（答：$\displaystyle \int_{\bf 293}^{\bf 353} \boldsymbol{(6.0 \times 10^{-9} \times T + 8.0 \times 10^{-6}) dT \simeq 596 \times 10^{-6}}$）

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＜フェロー＞

荒井 政大

◎名古屋大学　工学研究科航空宇宙工学専攻　教授

◎専門：材料力学，固体力学，複合材料。有限要素法や境界要素法による数値シミュレーションなど。

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