前回説明したように，単振り子の運動に関して，振幅に正則摂動法を利用して，振幅の非線形効果を調べようとすると，時間とともに増加し続ける永年項が生じ，十分長い時間での振る舞いを議論することができない。そこで，二つの時間スケール，$T_0 = t$，$T_1 = \varepsilon t$を用意し，通常の時間スケールでの振る舞いと，長時間での振る舞いに分離して現象を調べる。

時間に関する一階微分は前号の式(47)より，

\[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} = \frac{\partial}{\partial T_0} + \varepsilon \frac{\partial}{\partial T_1}\]

(48)

と与えられるので，二階微分${\rm d}^2/{\rm d} t^2$は，

\[\frac{{\rm d}^2}{{\rm d} t^2} = \left( \frac{\partial}{\partial T_0} + \varepsilon \frac{\partial}{\partial T_1} \right)^2 = \frac{\partial^2}{\partial T_0^2} + 2\varepsilon \frac{\partial^2}{\partial T_0 \partial T_1} + \varepsilon^2 \frac{\partial^2}{\partial T_1^2}\]

(49)

となる。この関係を，$\ddot{\theta} + \theta = \varepsilon \theta^3$に代入すると，

\[\frac{\partial^2 \theta}{\partial T_0^2} + \theta = \varepsilon \left( \theta^3 – 2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial T_0 \partial T_1} \right) – \varepsilon^2 \frac{\partial^2 \theta}{\partial T_1^2}\]

(50)

が得られる。初期条件は，$t = 0$で，$\theta = 1$，$\dot{\theta} = 0$より，$T_0 = T_1 = 0$で，

\[\theta = 1,\]

(51)

\[\frac{\partial \theta}{\partial T_0} + \varepsilon \frac{\partial \theta}{\partial T_1} = 0\]

(52)

ここで，$\displaystyle \theta = \sum_{n = 0}^\infty \varepsilon^n \theta _n$とすると，

i）0次の項：

\[\frac{\partial ^2 \theta}{\partial T_0^2} + \theta = 0\]

(53)

初期条件(51)，(52)を用いると，$T_0 = T_1 = 0$で，

\[\theta = 1 \quad \mbox{より，} \quad \theta_0 = 1\]

(54)

\[\frac{\partial \theta}{\partial T_0} + \varepsilon \frac{\partial \theta}{\partial T_1} = 0 \quad \mbox{より，} \quad \frac{\partial \theta_0}{\partial T_0} = 0\]

(55)

以上より，

\[\theta_0 = C(T_1) \cos T_0 + D(T_1) \sin T_0\]

(56)

とおくことができ，初期条件より，

\[C(0) = 1, \quad D(0) = 0\]

(57)

となる。二つの時間スケール$T_0$，$T_1$の導入により，係数$C$，$D$が$T_1$の関数になったことが重要である。

ii）1次の項：

\[\frac{\partial^2 \theta_1}{\partial T_0^2} + \theta_1 = \theta_0^3 – 2\frac{\partial^2 \theta_0}{\partial T_0 \partial T_1}\]

(58)

初期条件(51)，(52)より，

\[\theta_1 = 0, \quad \frac{\partial \theta_1}{\partial T_0} = -\frac{\partial \theta_0}{\partial T_1}\]

(59)

式(58)の右辺に，同次方程式$\dfrac{\partial^2 \theta_1}{\partial T_0^2} + \theta_1 = 0$の基本解$\sin T_0$，$\cos T_0$に比例する項を持つと，この項が永年項となり，時間とともに発散する解を持ってしまう。この項が現れないように右辺に現れる$\theta_0$の項中の$C(T_1)$，$D(T_1)$を決定する。

式(56)より，$\theta_0 = C(T_1) \cos T_0 + D(T_1) \sin T_0$

\[ \begin{split} & \therefore \quad \theta_0^3 = \left( C(T_1) \cos T_0 + D(T_1) \sin T_0 \right)^3 \\ & {}= C^3 \left( \frac{3}{4} \cos T_0 + \frac{1}{4} \cos 3T_0 \right) + 3C^2 D \left( \frac{1}{4} \sin T_0 + \frac{1}{4} \sin 3T_0 \right) \\ & {}+ 3C D^2 \left( \frac{1}{4} \cos T_0 – \frac{1}{4} \cos 3T_0 \right) + D^3 \left( \frac{3}{4} \sin T_0 – \frac{1}{4} \sin 3T_0 \right) \end{split} \]

(60)

また，$\dfrac{\partial^2 \theta_0}{\partial T_0 \partial T_1} = -\dfrac{{\rm d} C(T_1)}{{\rm d} T_1} \sin T_0 + \dfrac{{\rm d} D(T_1)}{{\rm d} T_1} \cos T_0$より，式(58)の右辺は

\[ \begin{split} \theta_0^3 – 2\frac{\partial^2 \theta_0}{\partial T_0 \partial T_1} = {}& \left( \frac{3}{4} C^3 + \frac{3}{4} CD^2 – 2\frac{dD}{dT_1} \right) \cos T_0 \\ & {}+ \left( \frac{3}{4} C^2 D + \frac{3}{4} D^3 + 2\frac{dC}{dT_1} \right) \sin T_0 \\ & {}+ \left( \frac{1}{4} C^3 – \frac{3}{4} CD^2 \right) \cos 3T_0 \\ & {}+ \left( \frac{3}{4} C^2 D – \frac{1}{4} D^3 \right) \sin 3T_0 \end{split} \]

(61)

となる。時間の増加とともに発散する永年項をなくすために$\cos T_0$，$\sin T_0$の係数を0として，

\[\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \frac{3}{4} C^3 + \frac{3}{4} C D^2 – 2\frac{{\rm d} D}{{\rm d} T_1} = 0 \\ \displaystyle \frac{3}{4} C^2 D + \frac{3}{4} D^3 + 2\frac{{\rm d} C}{{\rm d} T_1} = 0 \end{array} \right.\]

(62)

この式を解いて，$C(T_1)$，$D(T_1)$を求める。

式(62)を書き換えると，

\[\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \frac{3}{4} C(C^2 + D^2) = 2\frac{{\rm d} D}{{\rm d} T_1} \\ \displaystyle \frac{3}{4} D(C^2 + D^2) = -2\frac{{\rm d} C}{{\rm d} T_1} \end{array} \right.\]

(63)

上式を整理すると，$\dfrac{C}{D} = -\dfrac{D’}{C’}$

\[\therefore \quad C\frac{{\rm d} C}{{\rm d} T_1} + D\frac{{\rm d} D}{{\rm d} T_1} = \frac{1}{2} \frac{{\rm d}}{{\rm d} T_1} \left( C^2 + D^2 \right) = 0,\]

\[\therefore \quad C^2 + D^2 = const\]

(64)

初期条件(57)より，$C(0) = 1$，$D(0) = 0$，

\[\therefore \quad C^2 + D^2 = 1\]

(65)

この式を(63)に代入し，整理すると，

\[\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \frac{{\rm d}^2 C}{{\rm d} T_1^2} = – \left( \frac{3}{8} \right)^2 C \\ \displaystyle \frac{{\rm d}^2 D}{{\rm d} T_1^2} = – \left( \frac{3}{8} \right)^2 D \end{array} \right.\]

(66)

\[\therefore \quad C(T_1) = A_1 \cos \left( \frac{3}{8} T_1 \right) + A_2 \sin \left( \frac{3}{8} T_1 \right)\]

\[D(T_1) = A_3 \cos \left( \frac{3}{8} T_1 \right) + A_4 \sin \left( \frac{3}{8} T_1 \right)\]

(67)

初期条件より，$C(0) = 1$，$D(0) = 0$。さらに，この関係を使うと，式(63)より，$\left. \dfrac{{\rm d} C}{{\rm d} T_1} \right|_{T_1 = 0} = 0$，$\left. \dfrac{{\rm d} D}{{\rm d} T_1} \right|_{T_1 = 0} = \dfrac{3}{8}$。

この4条件を用いると，$A_1 = 1$，$A_2 = 0$，$A_3 = 0$，$A_4 = 1$

\[\therefore \quad C(T_1) = \cos \left( \frac{3}{8} T_1 \right), \quad D(T_1) = \sin \left( \frac{3}{8} T_1 \right)\]

(68)

以上より，0次の解，$\theta_0$は

\[ \begin{split} \theta_0 & {}= C(T_1) \cos T_0 + D(T_1) \sin T_0 \\ & {}= \cos \left( \frac{3}{8} T_1 \right) \cos T_0 + \sin \left( \frac{3}{8} T_1 \right) \sin T_0 \\ & {}= \cos \left( T_0 – \frac{3}{8} T_1 \right) = \cos \left\{ \left( 1 – \frac{3}{8} \varepsilon \right) t \right\} \end{split} \]

(69)

この式は，無次元角振動数が1から$\left( 1 – \dfrac{3}{8} \varepsilon \right)$に変化していることを表している。すなわち，初期振幅角$\varTheta_0$を用いて$\varepsilon \equiv \dfrac{1}{6} {\varTheta_0}^2$と与えられるので，実際の現象として，振り子の角振動数$\omega_0\ (= \sqrt{g/\ell})$が，振幅の非線形性の影響で，$\left( 1 – \dfrac{1}{16} {\varTheta_0}^2 \right) \omega_0$へと小さくなることを示している。周期で考えると，周期が$\left( 1 – \dfrac{3}{8}\varepsilon \right)^{-1} \cong 1 + \dfrac{3}{8} \varepsilon$倍に増加することを示している。

なお，ここで示したように単純摂動展開の場合と異なり，0次の解の係数$C(T_1)$，$D(T_1)$を求めるのに1次の解を調べて永年項が発生しないようにしている点について注意しておく。また，単純摂動展開の結果得られた時間とともに発散する解，$\theta \cong \cos t + \varepsilon \left\{ \dfrac{3}{8} t\sin t + \dfrac{1}{32} (\cos t – \cos 3t) \right\}$の右辺の$\cos t + \dfrac{3}{8} \varepsilon t\sin t$の項は，実は，式(69)$\theta_0 = \cos \left\{ \left( 1 – \dfrac{3}{8} \varepsilon \right) t \right\}$に関して，$\varepsilon t \ll 1$の条件のもと，

\[ \begin{split} \theta_0 & {}= \cos \left\{ \left( 1 – \frac{3}{8} \varepsilon \right) t \right\} = \cos t \cdot \cos \left( \frac{3}{8} \varepsilon t \right) + \sin t \cdot \sin \left( \frac{3}{8}\varepsilon t \right) \\ & {}= \cos t + \frac{3}{8} \varepsilon t\sin t + O((\varepsilon t)^2) \end{split} \]

(70)

と近似した式に対応している。すなわち，$\varepsilon$が十分小さいだけでなく，時間$t$も十分小さいときの近似解に対応している。

さて，ここで示した方法は，時間に関する微分演算子に二つの異なる時間スケールを導入し，永年項の成長を防ぐように摂動展開していくものであったが，角度$\theta$の非線形項に伴う影響は，振り子の周期（振動数）に影響を与えるとして，以下のように振動数に関する摂動展開をして扱うと，特異摂動としての扱いなしに，正則摂動問題として扱うことができる。以下，その方法を示す。

与えられた問題，

\[\ddot{\theta} + \theta = \varepsilon \theta^3, \qquad (\theta (0) = 1, \dot{\theta}(0) = 0)\]

において，振幅ではなく，振動数に関して以下のように摂動展開する。

\[\omega \equiv \omega_0 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \cdots\]

(71)

ここでは，一次の項までの近似を考え，

\[\omega \equiv \omega_0 + \varepsilon \omega_1\]

(72)

とする。$\ddot{\theta} + \theta = 0$の解を考えると，

\[\omega_0 = 1\]

(73)

さらに初期条件$\theta (0) = 1$，$\dot{\theta}(0) = 0$を満たす解として，

\[\theta (t) \equiv \cos (1 + \varepsilon \omega_1) t\]

(74)

とおき，$\ddot{\theta} + \theta = \varepsilon \theta^3$の両辺を計算する。

\[ \begin{split} \mbox{(左辺)：} \ddot{\theta} + \theta & {}= \left\{ -(1 + \varepsilon \omega_1)^2 + 1 \right\} \cos (1 + \varepsilon \omega_1) t \\ & {}= (-2\varepsilon \omega_1 – \varepsilon^2 \omega_1^2) \cos (1 + \varepsilon \omega_1) t \end{split} \]

(75)

\[ \begin{split} \mbox{(右辺)：} \varepsilon \theta^3 & {}= \varepsilon \cos^3 (1 + \varepsilon \omega_1) t \\ & {}= \varepsilon \left\{ \frac{3}{4} \cos (1 + \varepsilon \omega_1) t + \frac{1}{4} \cos 3 (1 + \varepsilon \omega_1) t \right\} \end{split} \]

(76)

式(76)の右辺第一項を式(75)と比較すると，

\[-2\varepsilon \omega_1 = \frac{3}{4} \varepsilon\]

(77)

の関係があることがわかる。したがって，

\[\omega_1 = -\frac{3}{8}\]

(78)

\[\theta (t) \cong \cos \left( 1 – \frac{3}{8}\varepsilon \right) t\]

(79)

となり，式(69)と同じ結果になる。

ここで見たように，どの変数を選んで，摂動展開するかにより，答えを求める手間はかなり異なる。最初に紹介した二つの時間スケールを用意する方法は，周期の変化を求める観点からは手間のかかる方法であるが，異なる時間スケールを支配する物理を理解する観点からは，役立つ解法である。後に紹介した方法は，物理的直感に基づき，エネルギー保存の観点から振幅は増大しないはず，変化が起きるのは周期ではと考えれば，自然に思いつく解法である。このように，何を解析したいか求めたい効果はどのようなものかを明確にして，摂動するパラメータを選定するのは，複雑な非線形現象の摂動展開では特に重要となる。

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＜フェロー＞

高木 周

◎東京大学・大学院工学系研究科・機械工学専攻 教授

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