非線形動的系の安定性を調べるためにロシアの数学者リアプノフ（M.A. Lyapunov，1893）によって与えられた定理である．系が安定であれば，初期値から出発した系の状態軌道\(\boldsymbol{x}\left( t \right)\)は定常状態に近づいてくる．近づきかたを測る距離に似た正の実数関数\(V\left( {\boldsymbol{x}\left( t \right)} \right)\)が定義でき，\(V\left( \boldsymbol{x} \right) > 0\)，\(\boldsymbol{x} \ne {\bf{0}};V\left( {\bf{0}} \right) = 0\)であり，かつその時間微分が\(\frac{{dV\left( \boldsymbol{x} \right)}}{{dt}} \le 0\)であれば，この系は安定であり，さらに，\(\frac{{dV\left( \boldsymbol{x} \right)}}{{dt}}\)が恒等的に０になるのは定常状態のみであれば漸近安定である．このような\(V\left( {\boldsymbol{x}\left( t \right)} \right)\)をリアプノフ関数と呼ぶ．