二次元弾性問題で物体力がない場合，ある関数\(\chi (x,y)\)によって応力成分を\[{\sigma _x} = \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {y^2}}},{\sigma _y} = \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {x^2}}},{\tau _{xy}} = - \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial x\partial y}}\]のように表せば，応力の釣合い式は\(\chi \)に無関係に満足される．適合条件から\[{\nabla ^2}{\nabla ^2}\chi = 0,{\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\]よって\(\chi \)は重調和関数である．与えられた境界条件から\(\chi \)を決定すれば正解となる．1862年Airyによって提唱されたものでエアリーの応力関数という．変位成分\({u_x}\)，\({u_y}\)は\({\nabla ^2}\chi \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial x\partial y}},{\nabla ^2}\varphi = 0\)より求まる調和関数より\[2G{u_x} = - \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}} + \frac{{x + 1}}{4}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}\]\[2G{u_y} = - \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}} + \frac{{x + 1}}{4}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}\]と表される．ここで\(G\)は横弾性係数，\(\kappa = (3 - \nu )/(1 + \nu )\)平面応力，\( = (3 - 4\nu )\)平面ひずみ，\(\nu \)はポアソン比である．【応力関数】