n行n列の正方行列\(A = \left[ {{a_{ij}}} \right]\)に対して，その成分\({{a_{ij}}}\)によって定義される式\(\sum\limits_p {\left( {{\mathop{\rm sgn}} P} \right){a_{1{r_1}}}{a_{2{r_2}}} \cdots {a_{n{r_n}}}} \)をAの行列式という．ここに\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2& \cdots &n\\ {{r_1}}&{{r_2}}& \cdots &{{r_n}} \end{array}} \right)\)は\(\left( {1,2, \cdots ,n} \right)\)から\(\left( {{r_1},{r_2}, \cdots {r_n}} \right)\)への置換を表し，Pが偶置換のときsgnP＝1，奇置換のときsgnP＝－1である．また総和はすべてのPについて行う．Aの行列式をdetA，\(\left| A \right|\)などと書く．例えばn=3のとき\(\det A = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} - {a_{11}}{a_{23}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{13}}{a_{21}}{a_{32}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}}\)である．