カスティリアーノの定理

　剛体運動のみが拘束されている弾性はりが，その中の\(n\)個の点\({{\rm{A}}_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)で横荷重\({F_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)および集中モーメント\({M_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)を受けるとする（図参照）．全長\(l\)の弾性はりのコンプリメンタリ・エネルギー\({V_c}\)は\(EI\)を曲げ剛性とし，曲げモーメント\(M\)を\({F_i}\)，\({M_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)を用いて表示すると\[{V_c}\left( {{F_i}{M_i}} \right) = \int_0^l {\frac{1}{{2EI}}{M^2}\left( {{F_i},{M_i}} \right)} dx\]であり，\({F_i}\)，\({M_i}\)に関する二次形式になる．この力学系の全コンプリメンタリ・エネルギーΠ_cは対応する荷重点の荷重方向変位を\({v_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)，回転角を\({\theta _{\rm{i}}}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)とすると\[{\it\Pi _c} = {V_c} - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{F_i}{v_i} + {M_i}{\theta _i}} \right)} \]である．全コンプリメンタリ・エネルギー最小の原理より，Π_cは横荷重\({F_i}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)および外モーメント\({M_i}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)の仮想的変化に対して停留するので，これらに関する偏微分係数が0となる．よって，たわみおよび回転角が\[{v_i} = \frac{{\partial {V_c}}}{{\partial {F_i}}},\,{\theta _i} = \frac{{\partial {V_c}}}{{\partial {M_i}}},\,i = 1, \cdots ,n\]と得られ，これをカスティリアーノの定理という．