二次元弾性論において，エアリーの応力関数\(\chi \left( x,y\right) \)は，二つの複素応力関数で表示できるが，Westergaardは\(y=0\)において\(\sigma _{x}=\sigma _{y},\tau _{xy}=0\)になる特別な場合には１個の複素応力関数\(Z\left( z\right) \)だけで表示できることを示した．\(Z\left( z\right) \)は\(z=x+iy\)の解析関数である．\[\chi \left( x,y\right) =Re\overline {Z}+yIm\overline {Z}\]ここで\[Z'=\dfrac {dZ} {dz},Z=\dfrac {d\overline {Z}} {dz},\overline {Z}=\dfrac {d\overline {Z}} {dz}\]であり，\(Re,Im\)は複素数の実部および虚部を表す．また\(\nabla ^{2}\left( ReZ\right) =\nabla ^{2}\left( ImZ \right) =0\)で適合条件を満足している．応力成分は\[{\sigma _x} = ReZ - yImZ'\]\[{\sigma _y} = ReZ - yImZ'\]\[{\tau _{xy}} = - yReZ'\]この他にx軸に逆対称やねじりの場合も得られている．【エアリーの応力関数】