====== ラプラス変換 ======
==== Laplace transform ====

{{tag>..c13 ..c17}}


//f(t）//を区間［0，∞）で定義された区分的に連続な時間関数とする．//s//を複素数として，つぎの積分\[\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \int_0^T {f\left( t \right){e^{ - st}}dt} ,s = \sigma  + j\omega \]を考える．各//s//について右辺の極限が存在するとき\[F\left( s \right) = \int_0^\infty  {f\left( t \right){e^{ - st}}dt} \]を//f//(//t//）のラプラス変換といい，通常//F//(//s//）＝\(\mathscr L\)［//f//(//t//)］と表す．この定義から分かるように，//f//(//t//）の//t//＜0の部分の値は積分に影響を与えない．時間関数//f//(//t//）のラプラス変換を求めることを，//t//-領域から//s//-領域への変換ともいう．//F//(//s//）が与えられたとき，もとの時間関数//f//(//t//）はつぎの[[13:1002757|逆ラプラス変換]]の公式で与えられる．\[f\left( t \right) = {\mathscr L^{ - 1}}\left[ {F\left( s \right)} \right] = \frac{1}{{2\pi j}}\int_{c - j\infty }^{c + j\infty } {F\left( s \right){e^{st}}ds} \]ただし，上式は//F//(//s//）がRe[//s//]＞//σ////<sub>a</sub>//で絶対収束するとき，//c//＞//σ////<sub>a</sub>//に対して成立する．ラプラス変換は物理学，工学に現れる過渡現象の解析に広く用いられているが，特に制御工学や回路網理論での重要性が高い．よく用いられるラプラス変換の公式をつぎの表に示す．

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