====== 有限変形 ======
==== finite deformation ====

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　微小変形理論が適用できない大変形のこと．有限変形の場合には，ひずみ，応力，釣合い式，構成式などは，変形前の配置を基準にする（Lagrange表記）が，変形後の配置を基準にする（Euler表記）かによって異なる．変形前の物質点の位置を**//X//**，その点の時刻tにおける座標を//**x**//で表すと，変形は関数//**x**//＝//**x**//(**//X//**，//t//)で表される．変形こう配**//F//**＝∂//**x**///∂**//X//**は直交テンソル**//R//**と対称正定値テンソル**//U//**あるいは**//V//**を用いて，**//F//**＝**//R//****//U//**＝**//V//****//R//**と分解することができる（極分解）．ここで，**//R//**は回転，**//U//**，**//V//**はそれぞれ右，左のストレッチ・テンソルと呼ばれる．極分解は，任意の有限変形が互いに直交する三方向の伸縮と回転，あるいはその逆で表されることを示す．Greenのひずみテンソルは**//E//**＝(**//F//**//<sup>T</sup>//**//F//**－**//I//**)/2で，またAlmansiのひずみテンソルは**//A//**＝(**//I//**－**//F//**//<sup>-T</sup>//**//F//**<sup>-1</sup>)/2で定義される．Cauchy応力を**//T//**で表すと，応力の釣合い式はEuler表記では\(\rho \boldsymbol{\dot v} = {\rm{div}}\boldsymbol{T} + \rho \boldsymbol{f}\)と表される．ここで，divは空間座標に関する発散，//v//は粒子速度，\(\boldsymbol{\dot v}\)は加速度，//ρ//は密度，**//f//**は物体力である．Lagrange表記では\({\rho _0}\boldsymbol{\dot v} = {\rm{DIV}}\boldsymbol{\pi }_K^T + {\rho _0}\boldsymbol{f}\)と表され，//ρ//<sub>0</sub>は変形前の密度，\({\pi _K} = \det \left( \boldsymbol{F} \right)\boldsymbol{T}{\left( {{F^{ - 1}}} \right)^T}\)は第一Piola-Kirchhoffの応力テンソル，DIVは変形前の座標**X**関する発散である．弾性体の構成式は**//T//**＝**//R//****//G//**(**//U//**)**//R//**//<sup>T</sup>//という形で表すことができ，釣合い式に代入すると有限弾性論の基礎式が得られる．弾性論だけでなく，粘弾性，塑性などの非弾性理論も有限変形に拡張されている．いずれも変形が小さい場合には微小変形理論に帰着する．


~~NOCACHE~~