近年，省エネルギー・低環境負荷を実現する観点から熱流体システムの高効率化への期待が高まり，従来型熱交換器の高性能化・小型化に対する要請が一段と増している．また，半導体デバイスや医療機器，生化学分析装置，小型発電デバイス[1] など様々な工学デバイスへの応用を想定し，MEMS（微細加工技術）を用いたマイクロマシンが注目され，各種熱プロセスにおける時空間的な伝熱現象を制御するための熱管理技術の開発に対する期待が高まっている．本稿では，近年著者らのグループで取り組んできた，随伴解析を用いたマイクロ熱流動の最適設計・最適制御の試みとして，コンパクト熱交換器の形状最適設計[2-4] ならびに半導体パルスレーザーの非定常温度制御[6-8] への適用と，それぞれ明らかになった随伴解析の有用性について紹介する．
　本稿で紹介する随伴解析は，評価汎関数の停留条件を求める現代制御理論の枠組みにおいて，随伴方程式を導入する数学的スキームである．現代制御理論において，線形の常微分方程式で表される状態方程式を制御対象とした線形２次形式の最適化問題は，リカッチ代数方程式を解くことに帰着される．一方，非線形の偏微分方程式で記述される熱流体系において，リカッチ方程式に対応するのが随伴方程式であり，評価関数および対象とする場の支配（状態）方程式，初期条件・境界条件をもとに導出される[9]．制御入力は各制御問題において，予めその形式（独立変数，定義域など）を規定した上で，境界形状を制御入力とする形状最適化問題，あるいは境界における流速や温度，熱流束などを制御入力とする最適制御問題として定式化される．随伴変数を導入することで，制御対象（評価関数）の理論的な最適条件（停留条件）を満足するための制御入力分布を得ることが可能となる．随伴解析の大きな利点として，基底関数が未知な任意の関数形を有する制御入力に対しても解を求めることができる点が挙げられる．また，本手法は制御目的とする結果から制御入力を求める逆問題解析の一種と捉えることができる．近年の計算機性能の飛躍的な向上に伴い，莫大な計算コストを要する本手法による形状最適化・最適制御が現実的なものとなり，多くの適用例が報告されるようになっている[9-12]．
　本研究に先行して，高温・低温流体を千鳥状に配置する対向流型熱交換器を対象とした熱流動数値解析を行い，斜め波状壁を用いた熱交換器形状を提案した[2]．具体的な対象としたマイクロガスタービン用再生熱交換器では，レイノルズ数が 100〜500 程度と考えられ，乱流による伝熱促進は見込めない．著者らは層流熱交換器において，波状変形が流れ方向に対して傾き角を持つ斜め波状壁を用いることで，上下逆回転の渦構造対が形成され，強い2 次流れによる伝熱促進を低圧力損失で達成できることを示した[2]．従来の形状設計手法は主に物理的な直観あるいは経験的な知見に基づいており，理論的に最適な流路形状を得ることは困難であることから，随伴解析の熱交換器設計への適用を試みた．
　また，近年，半導体レーザーなどの高速温度変動を有する電子デバイスの高性能化を実現する観点から，非定常な温度制御が求められるようになっている．例えば，半導体パルスレーザーにおいては，レーザー波長のドリフトを低減するため，パルス発振に伴う熱散逸による急激な温度変動を抑制することが重要である．しかし，従来の冷却技術では，熱容量が大きいために時間応答性は不十分であり，例えば1 μsオーダーの半導体素子の熱時定数に対応することができず，高時間応答性を有した温度制御技術の開発が必要である．本研究では，随伴熱伝導解析を用いることにより，半導体素子内部の最適温度制御手法を開発した．また，半導体パルスレーザーを模擬したMEMSプロトタイプにより本手法の有効性を実験的に評価した[6,7]．

Fig. 1 Schematic of the present shape optimization [3]: (a) 3D view, (b) Longitudinal plane.

2. コンパクト熱交換器の形状最適設計

　従来用いられてきた伝熱促進技術は，1)フィンによる前縁効果（温度境界層の発達の阻害），2)渦促進体（流れ方向に軸を持つ渦運動の導入），3)表面粗さ（剥離・再付着による伝熱促進），4)伝熱面の変形／加工（２次流れの誘起），を利用した方法に大別される．一般に，上記 1)〜3) の場合，伝熱促進を得るのに要する圧力損失が極めて大きく，乱流域で用いられる場合のみ有効な手法である．一方，実際に用いられるマイクロガスタービンでは，許容圧力損失を考慮すると，熱交換器内の作動流体（高・低温空気）のレイノルズ数は 100〜500 程度と考えられる．著者らの提案した斜め波状壁熱交換器（図1）は，上記 4)の手法によるものであり，波状壁の傾き角・振幅を適切に選択することにより，例えば正方形断面直管ダクトからなる対向流型熱交換器を 50% 以上小型化できることを示した[2]．また，平行平板系への適用に対する検討も行われ，実用的な新規コンパクト熱交換器の開発が進められている[5]．
　しかし，従来の形状設計手法は主に物理的直観に基づくものであり，多くの試行錯誤を要するとともに，理論的な最適形状を得ることは難しい．随伴方程式系を用いた形状最適化法は，高性能熱交換器の開発を行う上で，有用な知見を与えるものと考えられるが，熱交換器をはじめとする熱流体機器の形状設計への適用例はほぼ皆無であった．
　本研究では，随伴解析を用いた既存の最適化手法を拡張し，伝熱・圧力損失特性の同時最適化を実現する熱交換器の形状設計手法を構築した．運動量・熱輸送を同時に考慮した形状最適化を行うため，伝熱・圧力損失特性の重み付き線形和として評価関数を以下のように定義した．

　ここで，p，u1，θ は，それぞれ圧力，x方向流速，温度を表し，ΓI, ΓO はそれぞれ流路の入口・出口部，ΓM は全壁面を表す．また，式(1)の右辺第一項は入口・出口部での圧力差の面積積分を表し，圧力損失に相当する．一方，右辺第二項は全壁面上における総伝熱量を表し，それぞれ変形を加えない正方形断面直管ダクトにおける絶対値（P0, Q0）で除している．また，β は圧力損失に対する伝熱量の重みを表す．式(1)で表される評価関数を最大化することが本最適化の目標であり，連続の式，ナビエ・ストークス方程式，およびエネルギー方程式の随伴熱流動解析を用いた形状最適化手法を定式化した[3]．

　以下に，層流域において極めて高い伝熱・圧力損失特性を有する斜め波状壁を用いた熱交換器モデル[1] に本最適化手法を適用した結果を示す．図2に j/f 因子および平均ヌセルト数Nuの変化の様子を示す．すべての場合にj/f 因子は初期値から増加し，本最適化が初期振幅によらず有効に機能している様子がわかる．図 3に，初期振幅A0/δ = 0.25における下壁面形状の変化の様子を示す．１回目から６回目までは波状壁の山の稜線を境にその右側面側で - y 方向への変形が大きく，左側面側で + y 方向への変形が大きい．この過程では，波状壁の振幅はほぼ初期状態のまま維持されながら，山の稜線が左壁側に移行する(Phase I)．一方，７回目以降は + y 方向への変形が収まり，初期形状における山の領域において - y 方向への変形が大きく作用し，なだらかな斜面と急峻な新たな山構造が形成される(Phase II)．本形状変化の結果，初期に最大のj/f 因子をとる初期振幅A0/δ = 0.25の場合に対しても，さらに4%増大できることがわかる．また，流路内には斜め波状壁と同様に上下に逆回転の渦構造対が形成されるが，本形状最適化により初期形状において存在する若干の剥離域は消滅する．このことから，j/f 因子を最適化する観点からは，２次流れの強度を維持しつつ剥離を完全に抑制する流路形状が適するものと言える．
　また，上記解析とともに，固体壁内熱伝導との連成系においても形状最適化の定式化が可能であることを示し，伝熱・圧力損失特性に及ぼす影響を評価している[4]．

3．半導体パルスレーザーの最適熱制御

本研究では，GaAs/AlGaAsレーザーを想定し，素子上面に配置した制御用薄膜ヒーターによりレーザー照射部の温度制御を行う[6, 7]．実デバイスにおける活性層の厚さ (0.1 μm)，およびレーザーパルスの時間幅 (1 μs) は，フォノンの時空間スケールに比べて十分大きいと考えられ，本研究では，固体層内の熱伝導はフーリエ型の拡散型熱伝導に支配されるものと仮定した．レーザー素子の発熱量w(x, t) は，実際のレーザー出力および投入電力から算出し，発熱はヒーターを模擬した活性層内中心部のみで生じるものと仮定した．
　評価汎関数 J は，活性層の温度Tと目標温度 Ttargetの差の二乗積分として，次式のように定義する．

ただし，制御熱入力q(t)は，上部境界 (x = 0 μm) における正のみの熱流束とする．本制御では，レーザー発光時間内 (t = 0 ~ τ) におけるレーザー照射部である活性層 (x = xA ~ xB) の温度変動が最小となるよう，すなわち上式で与えられる評価関数Jを最小化するよう熱入力qが時間関数として求められる．随伴温度変数を用いた制御入力の詳細な導出過程は既報[6, 7]を参照されたい．

Fig. 4 Schematic of the modeled laser diode with a control heater added on the top surface of the multilayered structure [7]: (a) Schematic of an actual laser-diode model, (b) 3-layered model.

Fig. 5 Computational results: (a) Spatio-temporal temperature distribution inside the diode model, (b) Temperature distribution due solely to the internal heat dissipation from the active region (without control), (c) Temperature distribution in the active region under the present control.

Fig. 6 Optimal-control experiment: (a) MEMS-based Pt resistance thermometer with the 4-wire configuration of embedded Ni-Cr heaters, (b) Temperature variation and applied heat flux in the present experiment with/without the control input.

4．まとめ

　本稿では，随伴解析を用いた最適設計・最適制御理論の適用例として，層流コンパクト熱交換器の形状最適設計，および半導体パルスレーザーの高時間応答非定常温度分布制御について紹介した．
　層流熱交換器の設計においては，伝熱・圧力損失特性の同時最適化を実現する観点から，本最適化手法によりj/f 因子を提案流路に対してさらに増大できることが示され，２次流れの強度を維持しつつ剥離を完全に抑制する流路形状が適することが示された．また，半導体デバイスの高時間応答性を有した温度制御として，素子上部からのヒーター加熱によるフィード・フォワード制御が有効であることが示された．さらに，MEMS技術を用いた半導体レーザーモデルによる最適制御実験の結果, パルス加熱時間内の活性層内最大温度差を顕著に低減できることが実証された．
　以上のように，随伴解析を用いた最適制御スキームは，極めて汎用性が高いものと考えられる．今後，現実的な工学応用を前提とした様々な熱プロセスに対して，随伴解析の適用可能性を探り，新規熱流体デバイス／システムの開発に役立てたいと考えている．

謝辞

本研究を遂行するにあたり，東京大学笠木伸英名誉教授，東京大学鹿園直毅教授に多くの貴重なご助言を賜った．また，元東京大学大学院生・伊藤悟氏，および東京大学大学院生・金民城氏，木下英典氏には多大なご協力を頂いた．本研究の一部は，日本学術振興会科研費若手B (No. 24760158) の支援を受けて行われた．記して謝意を表する．

参考文献